Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．
（1）某研究小組在進行課題學習時，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖2）
問題．試在圖3的梯形中畫出至少五條黃金分割線，并說明理由．
（2）類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義：截面a將一個體積為V的圖形分成體積為V₁、V₂的兩個圖形，且

V1

V

=

V2

V1

，則稱直線a為該圖形的黃金分割面．
問題：如圖4，長方體ABCD-EFGH中，T是線段AB上的黃金分割點，證明經過T點且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面．

Answer 1

分析：（1）如圖，先在梯形的中位線EF上找一個黃金分割點G，過點G作一條直線L交AD于點M，交BC于N，則MN就是梯形的黃金分割線．
（2）根據AT：AB=TB：AT，進而推出S_矩形QRST=S_矩形BCGF因為AT×S_矩形QRST：AB×S_矩形BCGF=TB×S_矩形ADHE：AT×S_矩形QRST從而不難求得截面QRST是長方體的黃金分割面．

解答：解：（1）如圖，先在梯形的中位線EF上找一個黃金分割點G，過點G作一條直線L交AD于點M，交BC于N，則MN就是梯形的黃金分割線．
∵EG：EF=GF：EG，
∴EG×h：EF×h=GF×h：EG×h，
∵S_梯形ABNM=EG×h，S_梯形MNCD=GF×h，S_梯形ABCD=EF×h（h是梯形的高），
∴S_梯形ABNM：S_梯形ABCD=S_梯形NMCD：S_梯形ABNM，
∵直線L是過G的任意一條與AD，BC都相交的直線，
∴符合題意的黃金分割線有無窮多條．

（2）∵AT：AB=TB：AT，
∴S_矩形QRST=S_矩形BCGF，
∵AT×S_矩形QRST：AB×S_矩形BCGF=TB×S_矩形ADHE：AT×S_矩形QRST，
即截面QRST將體積為V的長方體，分成左右兩塊體積分別是V₁，V₂，
∴V₁：V=V₂：V₁，
∴截面QRST是長方體的黃金分割面．

點評：此題主要考查學生對黃金分割的理解及綜合推理能力．