Question

【題目】如圖，線段AB為⊙O的一條弦，以AB為直角邊作等腰直角△ABC，直線AC恰好是⊙O的切線，點(diǎn)D為⊙O上的一點(diǎn)，連接DA，DB，DC，若DA＝3，DB＝4，則DC的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

延長(zhǎng)CB交⊙O于F，連接AF，作BE⊥DB交DF的延長(zhǎng)線于E，連接AE，如圖，先利用∠ABF＝90°得到AF為⊙O的直徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠FAC＝90°，則∠BAF＝∠AFB＝45°，接著判斷△BDE為等腰直角三角形得到BD＝BE，DE＝BD＝4，再證明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，然后利用勾股定理計(jì)算出AE即可CD的長(zhǎng)．

解：延長(zhǎng)CB交⊙O于F，連接AF，作BE⊥DB交DF的延長(zhǎng)線于E，連接AE，如圖，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴BA＝BC，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∴AF為⊙O的直徑，

∵直線AC是⊙O的切線，

∴AF⊥AC，

∴∠FAC＝90°，

∴∠BAF＝∠AFB＝45°，

∴∠BDF＝∠BAF＝45°，

∴△BDE為等腰直角三角形，

∴BD＝BE，DE＝BD＝4

∵∠ABE＝∠DBE+∠ABD＝90°+∠ABD，∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝90°+∠ABD，

∴∠ABE＝∠CBD，

而BA＝BC，BD＝BE，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴AE＝CD，

∵AF為直徑，

∴∠ADF＝90°，

在Rt△ADE中，AE＝＝，

∴CD＝．

故答案為．