Question

【題目】（操作體驗）

如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得∠APB=30°，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；

第二步：連接OA，OB；

第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2；所以圖中P1，P2即為所求的點．

（1）在圖②中，連接P1A，P1B，試說明∠AP1B=30°；

（方法遷移）

（2）已知矩形ABCD，如圖③，BC=2，AB=m．

①若P為AD邊上的點，且滿足∠BPC=60°的點P恰有1個，求m的值．

②當m=4時，若P為矩形ABCD外一點，且滿足∠BPC=60°，求AP長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）說明見解析；（2）①m= 3；②AP長的取值范圍為2＜AP＜4或4＜AP＜．

【解析】

（1）由圓周角定理可知∠AP1B= ∠AOB=30°；

（2）①由題意可畫出圖形，當⊙O與AD相切且圓心角∠BOC=120°時，滿足∠BPC=60°的點P恰有1個，此時可構造直角三角形，通過勾股定理，求出m的值；

②由題意可畫出圖形，當點P在弧BR和弧SC上（不含端點）運動時，滿足∠BPC= ∠BOC=60°，分別求得AP長的范圍即可得出答案．

解：（1）由作法，可得OA=OB=AB，

∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AP1B=∠AOB=30°；

（2）①如圖1，在矩形內作∠BOC=120°，OB=OC，作直線OM⊥BC于M，交AD于P，

則PM⊥AD，∠BPC=∠BOC=60°

當⊙O與AD相切于點P時，滿足∠BPC=60°的點P恰有1個，

∵BC=2，AB=m．

∴OB=OC=2，

∵OM=BO=1，OP=OB=2，

∴m=OP+OM=2+1=3；

②如圖2，設⊙O與AB，CD的另一個交點分別為R，S，

當點P在弧BR和弧SC上（不含端點）運動時，滿足∠BPC=∠BOC=60°，

當P在弧BR上運動時，

P與R重合時，BR=BC=2，AP=2，

P與B重合時，AP=4，

當P在弧SC上運動時，

P與S重合時，AP=，

P與C重合時，AP=，

∴當m=4時，P為矩形ABCD外一點，且滿足∠BPC=60°，AP長的取值范圍為2＜AP＜4或4＜AP＜．

故答案為：（1）說明見解析；（2）①m= 3；②AP長的取值范圍為2＜AP＜4或4＜AP＜．