Question

【題目】如圖，E為邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE＝BC，P為CE上任一點，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R．有下列結論：①△PCQ∽△PER；②；③；④．其中正確的結論的個數是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據兩角對應相等的兩個三角形相似,即可證出;②作△DCE的邊DC上的高EF,根據三角形的面積公式即可得出△DCE的面積;③解直角△CEF,即可求出∠DCE的正切值;④連接BP,利用面積法求解,PQ+PR的值等于C點到BE的距離,即正方形對角線的一半．

解:①∵BE＝BC,

∴∠QCP＝∠REP,

又∵∠PQC＝∠PRE＝90°,

∴△PCQ∽△PER,故正確;

②作△DCE的邊DC上的高EF．

∵BE＝BC＝1,

∴DE＝BD﹣BE＝﹣1,

∵△DEF是等腰直角三角形,

∴EF＝DF＝DE＝,

∴S△DCE＝CDEF＝,故正確;

③在△CEF中,∠EFC＝90°,EF＝,

CF＝CD﹣DF＝1﹣＝,

∴tan∠DCE＝＝﹣1,故正確;

④連接BP,過C作CM⊥BD于M,

∵BC＝BE,

∴S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝BC×PQ×+BE×PR×＝BC×（PQ+PR）×＝BE×CM×,∴PQ+PR＝CM,

∵BE＝BC＝1且正方形對角線BD＝,又BC＝CD,CM⊥BD,

∴為BD中點,又△BDC為直角三角形,

∴CM＝BD＝,

∴PQ+PR＝,故正確．

故選D．