Question

【題目】如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．

（1）①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為　　：

（2）將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數量關系；

（3）正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AG＝BE；（3）正方形CEGF的邊長為3，正方形ABCD的邊長為3．

【解析】

（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD結合得∠BCD＝90°，可得四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得證；

②由正方形性質知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，據此可得＝、GE∥AB，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接CG，只需證△ACG∽△BCE即可得；

（3）證△AHG∽△CHA得＝，設BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，則由，得，計算AH＝，代入可得：a＝3，可得結論．

解：（1）①如圖（1），∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，

∴＝，GE∥AB，

∴＝，

故答案為：；

（2）連接CG，

由旋轉性質知∠BCE＝∠ACG＝α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝，

∴＝，

∴△ACG∽△BCE，

∴＝，

∴線段AG與BE之間的數量關系為AG＝BE；

（3）∵∠CEF＝45°，點B、E、F三點共線，

∴∠BEC＝135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°，

∵∠CHA＝∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴＝，

設BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，

則由，得

∴AH＝，

則DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝＝，

∴得＝，

解得：a＝3，即BC＝3，CH＝×＝5，

∴CG＝CH﹣GH＝5﹣2＝3，

∵四邊形CEGF是正方形，

∴CF＝3，

綜上，正方形CEGF的邊長為3，正方形ABCD的邊長為3．