Question

【題目】如果一個正整數能表示成兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“巧數”，如：，，，因此4,12,20這三個數都是“巧數”.

（1）400和2020這兩個數是“巧數”嗎？為什么？

（2）設兩個連續偶數為和（其中取正整數），由這兩個連續偶數構造的“巧數”是4的倍數嗎？為什么？

（3）求介于50到101之間所有“巧數”之和.

Answer 1

【答案】（1）400不是“巧數”，2020是“巧數”，理由見解析；（2）是，理由見解析；（3）532．

【解析】

（1）根據“巧數”的定義進行判斷即可；

（2）列出這兩數的平方差，運用平方差公式進行計算，對結果進行分析即可；

（3）介于50到100之間的所有“巧數”中，最小的為：142-122=52，最大的為：262-242=100，將它們全部列出不難求出他們的和．

解：（1）400不是“巧數”，2020是“巧數”．原因如下：

因為，故400不是“巧數”，

因為2020=5062-5042，故2020是“巧數”；

（2）

∵n為正整數，
∴2n－1一定為正整數，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由這兩個連續偶數構造的“巧數”是4的倍數；

（3）介于50到100之間的所有“巧數”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．