Question

一個紙質的正方形“仙人掌”，假設“仙人掌”在不斷地生長，新長的葉子是“缺角的正方形”，這些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它們的邊長是先前正方形的一半（如圖）．若第1個正方形的邊長是1，則生長到第4次后，所得圖形的面積是______．

Answer 1

由于第一個正方形的邊長為1，則第二、第三、第四個正方形的邊長為

1

2

、

1

4

、

1

8

，
∴第二次新生成圖形的面積為：

1

2

×

1

2

×

3

4

×2=

3

8

，
第三次新生成圖形的面積為：

1

4

×

1

4

×

3

4

×4=

3

16

，
∵由題可得生長到第4次所得缺角正方形的邊長為：

1

8

，
又∵缺角三角形的中心在先前正方形的角上，
∴它少了

1

4

的面積，即剩

3

4

，
所以一個缺角三角形的面積是 (

1

8

)2×

3

4

=

3

256

，
總共的面積=

3

256

×8=

3

32

，
則生長到第4次后，所得圖形的面積是=1+

3

8

+

3

16

+

3

32

=1

23

32

．
故答案為：

109

64

．