Question

【題目】△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°.

（1）如圖1，點D，E在AB，AC上，則BD，CE滿足怎樣的數量關系和位置關系?(直接寫出答案)

（2）如圖2，點D在△ABC內部， 點E在△ABC外部，連結BD， CE， 則BD，CE滿足怎樣的數量關系和位置關系?請說明理由.

（3）如圖3，點D，E都在△ABC外部，連結BD， CE， CD， EB，BD， 與CE相交于H點.

①若BD=，求四邊形BCDE的面積；

②若AB=3，AD=2，設CD2=x，EB2=y，求y與x之間的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，BD⊥CE；

（2）BD⊥CE，理由見解析；

（3）①S四邊形BCDE=；②y=26-x

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質即可得出；

（2）由邊角邊證得△ABD≌△ACE，由全等三角形的性質得出∠ABD=∠ACE，延長BD，由三角形內角和即可得∠CGF=∠BAF=90°，即可證得垂直；

（3）①易證△ABD≌△ACE，可得∠BHC=∠BAC=90°，即BD⊥CE，即可求得四邊形BCDE的面積；

②由勾股定理等量代換即可求得y與x之間的函數關系式.

試題解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC.AD=AE，

∴AB-AD=AC-AE，即：BD=CE，

∵BD、CE相交于點A，∠BAC=90°，

∴BD⊥CE；

(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC， ∠CAE=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，

延長BD，分別交AC，CE于F，G，BD=CE，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠AFB=∠GFC，

∴∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE；

（3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE

∵∠1=∠2

∴∠BHC=∠BAC=90°

∴S四邊形BCDE=S△BCE+S△DCE= = =，

∵∠BHC=90°，

∴CD2+EB2=CH2+HD2+EH2+HB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2=()2+()2=26，

∴y=26-x.