Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，F分別是DC和BC兩邊上的動點且始終保持∠EAF=45°，連接AE與AF交DB于點N，M．下列結論：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周長始終保持不變其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN2+BM2=NM2．其中正確的結論是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據題意證明∠ANB=∠MAD，又因為∠ADM=∠ABN=45°，由AA證明△ADM∽△NBA；
②把△ADE順時針旋轉90°得到△ABG，證明△AEF≌△AGF，得到DG=EF，求出△CEF的周長；
③根據平行線的性質判斷即可；
④把△ADN順時針旋轉90°得到△ABH，證明△NAM≌△HAM，根據勾股定理證明結論．

解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，
∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，
∴△ADM∽△NBA，①正確；

②如圖1，把△ADE順時針旋轉90°得到△ABG，則BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴FG=EF，
∴△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FB=4，②正確；
③當MN∥EF時，AE×AM=AF×AN，
∵MN與EF的位置關系不確定，∴③錯誤；

④如圖2，把△ADN順時針旋轉90°得到△ABH，則BH=DN，∠ABH=∠AND=45°，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN=45°，
在△NAM和△HAM中，
，
∴△NAM≌△HAM，
∴MN=MH，
又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，
∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正確．
故選：B．