Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，如果點到直線的距離與它到軸、軸的距離都相等，那么稱點為直線的“穩定點”．

（1）到軸、軸的距離相等的點一定在直線__________________上；

（2）在下圖中作出直線，并求出該直線所有“穩定點”的坐標；

（備用圖）

（3）當時，直線的“穩定點”的坐標為__________________；

（4）當時，直線的所有“穩定點”的橫坐標之間存在何種數量關系，請畫圖直接說明，無需證明．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），，，；（3）或；（4）見解析

【解析】

（1）由題意可得，點P的橫、縱坐標相等或互為相反數，從而求出結論；

（2）點P即為直線y=x與∠BAO的角平分線的交點或直線y=x與

的鄰補角的角平分線的交點或直線y=-x與∠BAO的角平分線的交點或直線y=-x與的鄰補角的角平分線的交點，求出直線AC的解析式和第二條角平分線所在直線的解析式即可得出結論；

（3）求出直線與直線y=x 的交點或直線與直線y=-x 的交點即可得出結論；

（4）記四個“穩定點”的橫坐標分別為、、、，設P1、P3在直線y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如圖所示，根據相似三角形的判定及性質即可得出結論．

解：（1）由題意可得，點P的橫、縱坐標相等或互為相反數

∴到軸、軸的距離相等的點一定在直線或直線

故答案為：或；

（2）如圖，由題意可得：點P即為直線y=x與∠BAO的角平分線的交點或直線y=x與的鄰補角的角平分線的交點或直線y=-x與∠BAO的角平分線的交點或直線y=-x與的鄰補角的角平分線的交點

直線與x軸的交點坐標為（-3,0），與y軸的交點坐標為（0,4）

∴OA=3，OB=4

根據勾股定理可得AB=

作出的角平分線，交軸于點．

利用角平分線的性質可得△ABC的邊AB上的高的長即為OC的長

∵S△ABO=S△ABC＋S△OAC

∴OA·OB=AB·OC＋OA·OC

即×3×4=×5·OC＋×3·OC

解得：OC=

∴點C的坐標為（0，）

設直線的解析式為

將點A和點C的坐標代入，可得

直線的解析式為；

再作出的鄰補角的角平分線，

同樣可求第二條角平分線所在直線的解析式為．

故聯立組成方程組、、、得“穩定點”的，，，；

（3）由題意可得：當時，直線的“穩定點”應為直線與直線y=x 的交點或直線與直線y=-x 的交點

故聯立組成方程組、

∴點的坐標為或

故答案為：或；

（4）如圖，記四個“穩定點”的橫坐標分別為、、、，設P1、P3在直線y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如圖所示

∴P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）

直線與x軸的交點C的坐標為（，0）

過點P3作P3A⊥x軸于A，過點P2作P2B⊥x軸于B，P3P4與P1P2交于點C

由（2）可知：兩個角平分線互相垂直，即P3P4⊥P1P2，

易證△P3AC∽△CBP2

∴

∴

整理，得

∵b≠0

∴

同理可得

∴．