Question

【題目】如圖，B、D為線段AH上兩點，△ABC、△BDE和△DGH都是等邊三角形，連結CE并延長交AH的延長線于點F，點G恰好在CF上，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．

（1）求證：AC 2=CMCF；
（2）若CM= ，MF= ，求圓O的半徑長；
（3）設等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S1、S2、S3 ， 請直接寫出S1、S2、S3之間的等量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結MB，則∠CMB=180°﹣∠A=120°，

∵∠CBF=60°+60°=120°，

∴∠CMB=∠CBF，

∵∠BCM=∠FCB，

∴△CMB∽△CBF，

∴ ，即CB2=CMCF，

∵AC=CB，

∴AC2=CMCF

（2）解：過點O作ON⊥AB于點N，

則∠CMB=120°，

∵∠CBF=120°，

∴∠CMB=∠CBF，

∵∠BCF=∠BCM，

∴△CMB∽△CBF，

∴ = ，

即CB2=CMCF，

∵AC=CB=AB，CM= ，MF= ，

∴CB2= ，

AB=AC=BC= ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠OBA=30°，

∴ON= BO，

∴cos30°= = = ，

解得：BO= ，

即⊙O的半徑為： ；

（3）解：由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，

∴ = =

∵ =（ ）2

=（ ）2

∴ = 即S22=S1S3

∴所求的數量關系是S22=S1S3．

【解析】1）連結MB易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據相似三角形對應邊的比相等即可證明；
（2）過點O作ON⊥AB于點N，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據相似三角形對應邊的比相等即可得AB=AC=BC，從而得出△ABC是等邊三角形，故∠OBA=30°，根據含30直角三角形的邊之間的關系得出ON= BO，根據特殊銳角的三角函數值及銳角三角函數的定義列出方程求解即可；
（3）由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質即可得出結論。
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線分線段成比例(三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．