Question

如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則結(jié)論：①B、E、D、C四點(diǎn)共圓；②AD•AC=AE•AB；③△DEF是等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BE=

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DE中，一定正確的有（　　）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=DF=BF=FC，從而可得B、E、D、C四點(diǎn)共圓；再根據(jù)割線定理即可證明AD•AC=AE•AB；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD=30°，再根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠EFD=60°，從而得到△DEF是等邊三角形；先判定△BCE是等腰直角三角形，然后求出BE=

2

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BC，再根據(jù)等邊三角形的三邊相等整理即可得到BE=

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DE．

解答：解：∵BD、CE為高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴EF=DF=BF=FC，
∴B、E、D、C四點(diǎn)共圓，故①小題正確；
∴AD•AC=AE•AB（割線定理），故②小題正確；
∵∠BAC=60°，BD為高，
∴∠ABD=30°，
∴∠EFD=2∠ABD=60°，
∴△EFD是等邊三角形，故③小題正確；
當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CE為高，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=

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BC，
又∵DE=EF=

1

2

BC，
∴BE=

2

DE，故④小題正確；
綜上所述，正確的有①②③④共4個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓周角定理，難度不大，求出EF=DF=BF=FC是解題的關(guān)鍵，也是求解本題的突破口．