Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°．∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點．則BM+MN的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N′，再由銳角三角函數的定義即可得出結論．

解答：解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴M′H=M′N′，
∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），
∵AB=4，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=4×

2

2

=2

2

．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=2

2

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故答案為：2

2

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值．