Question

14．P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA=CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）證明：PD=DQ．
（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）過點P作PF∥BC交AC于點F；證出△APF也是等邊三角形，得出∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對應邊相等即可；
（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對應邊相等FD=CD，證出AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，即可得出結果．

解答 （1）證明：如圖1所示，點P作PF∥BC交AC于點F；
∵△ABC是等邊三角形，
∴△APF也是等邊三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
在△PDF和△QDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）解：如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=6，
∴DE=3．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．