Question

已知：如圖，拋物線與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）.

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ.當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）.問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=－；（2）Q（1，0）；（3）存在，P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.

解析試題分析：（1）把點A和點C的坐標代入，利用待定系數法即可求出字母a和c的值，從而求出函數關系式；（2）設點Q的坐標為（m，0），根據EQ∥AC，得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形對應高的比等于相似比，用字母m表示出BG的長，然后根據表示出△CQE面積是關于字母m的二次函數，根據二次函數的性質計算出面積的最大值；（3）根據題意，分三種情況，先畫出圖形，然后根據等腰三角形的性質解答.
試題解析：（1）由題意得，
解得
∴所求拋物線得解析式為：y=－.
（2）設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥X軸與點G
由－=0，得=－2，.
∴點B的坐標為（－2，0）.
∴AB=6，BQ= m＋2.
又∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴.
即.
∴EG= .
∴
=
=
= 
=.
又∵－2≤m≤4，
∴當m=1時，有最大值為3，此時Q（1，0）.

（3）存在.在△ODF中
①若DO=DF時，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2.
又在RT△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°.
∴∠DFA=∠OAC=45°.
∴∠ADF=90°.
此時點F的坐標為(2，2).
由得x₁＝，x₂＝.
此時點P的坐標為:P（，2）或P（，2）.

②若OF＝DF時，過點F作FM⊥x軸與點M，
由等腰三角形的性質得:OM＝OD＝1.
∴F（1，3）.
由由得x₁＝，x₂＝.
此時點P的坐標為:P（，3）或P（，3）.

③若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，
∴AC＝.
∴點O到AC的距離為.
而OF＝OD＝2＜，與OF≥矛盾，
∴AC上不存在點使得OF＝OD＝2.
此時不存在這樣直線L，使得△ODF是等腰三角形.
綜上所述，存在這樣的直線L，使得△ODF是等腰三角形.
所求點P的坐標為:
P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.
考點：1待定系數法求二次函數的關系式，2二次函數與圖形面積問題的應用，等腰三角形的性質，3動點問題.