Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，A點的坐標為（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線的頂點為點D，經過C、D兩點的直線與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

Answer 1

分析：（1）由C（0，3）和A（3，0）在拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）上，利用待定系數法求解即可求得所求拋物線的解析式；
（2）首先求得拋物線的頂點D的坐標，然后求得直線CD的解析式，即可求得點E的坐標，根據平行四邊形的判定定理，即可求得點F的坐標；
（3）分別從當直線MN在x軸上方時與當直線MN在x軸下方時去分析，設圓的半徑為r，即可求得點N的坐標，將其代入函數解析式，即可求得答案．

解答：解：（1）∵C（0，3）和A（3，0）在拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）上，
∴

c=3 9a-6a+c=0

，
解得

a=-1 c=3

．
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）存在，點F的坐標為（2，3），
理由：∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
設直線CD的解析式為y=mx+n，
則

n=3 m+n=4

，
解得

m=1 n=3

．
∴設直線CD的解析式為y=x+3．
在y=x+3中，當y=0時，x=-3，
∴E（-3，0）．
在y=-x²+2x+3中，當y=0時，x=-1或3，
∴B（-1，0），
∵以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴F點的坐標為（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．
代入拋物線的解析式，只有（2，3）符合．
∴存在點F，坐標為（2，3）；

（3）①當直線MN在x軸上方時，
設圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，r），
∵N（r+1，r）在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-（r+1）²+2（r+1）+3=r，
解得r1=

-1+ 17

2

，r2=

-1- 17

2

（不合，舍去），
②當直線MN在x軸下方時，
設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，-R）．
∵N（R+1，-R）在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-（R+1）²+2（R+1）+3=-R．
解得R1=

1+ 17

2

，R2=

1- 17

2

（不合，舍去），
綜合①②可知，圓半徑的長度為

-1+ 17

2

或

1+ 17

2

．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，平行四邊形的判定與性質，圓的性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想的應用．