Question

【題目】提出問題：如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交邊DC與點E，求證：PB=PE
分析問題：學生甲：如圖1，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N通過證明兩三角形全等，進而證明兩條線段相等．
學生乙：連接DP，如圖2，很容易證明PD=PB，然后再通過“等角對等邊”證明PE=PD，就可以證明PB=PE了．
解決問題：請你選擇上述一種方法給予證明．
問題延伸：如圖3，移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，PB=PE還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠CEP=180°，

而∠CEP+∠PEN=180°，

∴∠PBM=∠PEN，

在△PBM和△PEN中

∴△PBM≌△PEN（AAS），

∴PB=PE；

如圖2，連結PD，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CB=CD，CA平分∠BCD，

∴∠BCP=∠DCP，

在△CBP和△CDP中

，

∴△CBP≌△CDP（SAS），

∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠CEP=180°，

而∠CEP+∠PEN=180°，

∴∠PBC=∠PED，

∴∠PED=∠PDE，

∴PD=PE，

∴PB=PD；

如圖3，PB=PE還成立．

理由如下：過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，

∴∠MPN=90°，

∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，

∴∠BPM+∠MPE=90°，

而∠MEP+∠EPN=90°，

∴∠BPM=∠EPN，

在△PBM和△PEN中

，

∴△PBM≌△PEN（AAS），

∴PB=PE．

【解析】對于圖1，根據正方形的性質得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，則四邊PMCN為矩形，根據角平分線性質得PM=PN，根據四邊形內角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據“AAS”證明△PBM≌△PEN，則PB=PE；

對于圖2，連結PD，根據正方形的性質得CB=CD，CA平分∠BCD，根據角平分線的性質得∠BCP=∠DCP，再根據“SAS”證明△CBP≌△CDP，則PB=PD，∠CBP=∠CDP，根據四邊形內角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補角相等得到∠PBC=∠PED，則∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD；

對于圖3，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，根據正方形的性質得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四邊PMCN為矩形，PM=PN，則∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根據“AAS”證明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．