Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，連接．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上一點，設點的橫坐標為．

①當點在第一象限時，過點作軸，交于點，過點作軸，垂足為，連接，當和相似時，求點的坐標；

②請直接寫出使的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點的坐標為或；②點的坐標為或．

【解析】

（1）將、兩點坐標代入拋物線，列出關于a和b的方程組求解即可；（2）①設，由點和點可得的表達式，分兩種情況：當時和當時根據相似三角形的性質求解即可；

②如圖，過點B作∠ABC的角平分線分別交y軸、拋物線于點M、P，在x軸的下方作，設點M的坐標為（0，k），求出點M的坐標，得出直線BM的解析式，聯立方程，求出點P的坐標，同理可得點.

（1）將、兩點坐標代入拋物線解析式，

可得，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①設，

由點和點可得的表達式：，

則，

，

軸，軸，

，

（Ⅰ）當時，，

則，

（Ⅱ）當時，，

則，

，

∴當與相似時，點的坐標為或；

②如圖，過點B作∠ABC的角平分線分別交y軸、拋物線于點M、P，在x軸的下方作∠ABP= ∠ABC，設點M的坐標為（0，k），

∵OB=3，OC=4，

∴BC=5，

∵BM平分∠ABC，

∴MO=MQ，

∴，

即，

解得，點M的坐標為（0，），

∴直線BM的解析式為，

聯立，

解得或，

∴點P的坐標為，

由作圖可知，M與點N關于x軸對稱，

∴點N的坐標為（0，），

同理可得點的坐標為，

綜上點P的坐標為或.