Question

【題目】【探究證明】

(1)某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明．

如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H.求證： ；

【結論應用】

(2)如圖②，在滿足(1)的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為 ；

【聯系拓展】

(3)如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）過點A作AP∥EF,交CD于P,過點B作BQ∥GH,交AD于Q,如圖1,易證AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后運用相似三角形的性質就可解決問題,

（2）只需運用（1）中的結論,就可得到,就可解決問題,

（3）過點D作平行于AB的直線,交過點A平行于BC的直線于R,交BC的延長線于S,如圖3,易證四邊形ABSR是矩形,由（1）中的結論可得=．設SC=x,DS=y,則AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根據勾股定理可得①,在Rt△ARD中根據勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,問題得以解決.

試題解析: （1）過點A作AP∥EF,交CD于P,過點B作BQ∥GH,交AD于Q,如圖1,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB∥DC,AD∥BC,

∴四邊形AEFP,四邊形BHGQ都是平行四邊形,

∴AP=EF,GH=BQ,

又∵GH⊥EF,

∴AP⊥BQ,

∴∠QAT+∠AQT=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠DAB=∠D=90°,

∴∠DAP+∠DPA=90°,

∴∠AQT=∠DPA,

∴△PDA∽△QAB,

∴,

∴,

（2）如圖2,

∵EF⊥GH,AM⊥BN,

∴由（1）中的結論可得,,

∴

故答案為: ,

（2）過點D作平行于AB的直線,交過點A平行于BC的直線于R,交BC的延長線于S,如圖3,則四邊形ABSR是平行四邊形,

∵∠ABC=90°,

∴ABSR是矩形,

∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,

∵AM⊥DN,

∴由（1）中的結論可得,

設SC=x,DS=y,則AR=BS=5+x,RD=10﹣y,

∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,

在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,

由②﹣①得x=2y﹣5③,

解方程組得

（舍去）,或,

∴AR=5+x=8,

∴.