Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC、BC分別相切于點D、E，點F是⊙O與AB的一個交點，連接DF并延長交CB的延長線于點G，則BG的長是 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：連接OD． ∵AC為圓O的切線，∴OD⊥AC，
又∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴∠A=45°，
根據勾股定理得：AB= =4 ，
又∵O為AB的中點，
∴AO=BO= AB=2 ，
∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2 × =2，
∴BF=OB﹣OF=2 ﹣2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，
又∵∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴ ，即 = ，
∴BG=2 ﹣2．
故答案為：2 ﹣2．

連接OD，由AC為圓O的切線，根據切線的性質得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，根據勾股定理求出AB的長，又O為AB的中點，從而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO與BO的長，再由OB﹣OF求出FB的長，同時由OD和GC都與AC垂直，得到OD與GC平行，得到一對內錯角相等，再加上對頂角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的長代入即可求出GB的長．