Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線l：y=﹣ x+ 分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C在x軸負半軸上，且∠ACB=30°．

（1）求A，C兩點的坐標．
（2）若點M從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x=0時，y= ；當y=0時，x=1．

∴點A坐標為（1，0），點B坐標為（0， ），

在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB= ，

∴BC=2 ．

∴OC= =3．

∴點C坐標為（﹣3，0）．

（2）解：如圖1所示：

∵OA=1，OB= ，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2 ，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分兩種情況考慮：若M在線段BC上時，BC=2 ，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，

此時S△ABM= BMAB= ×（2 ﹣t）×2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；

若M在BC延長線上時，BC=2 ，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，

此時S△ABM= BMAB= ×（t﹣2 ）×2=t﹣2 （t≥2 ）；

綜上所述，S= ；

（3）解：P是y軸上的點，在坐標平面內存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，

如2圖所示，

當P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標相同，

此時Q坐標為（1，2），②AP=AQ= ，Q與A的橫坐標相同，此時Q坐標為（1， ），

當P在y軸負半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標相同，

此時Q坐標為（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此時Q坐標為（﹣1，0），

綜上，滿足題意Q坐標為（1，2）、（1，﹣2）、（1， ）、（﹣1，0）．

【解析】（1）直線y=- x+ 分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C在x軸負半軸上，當x=0時，y= ；當y=0時，x=1；所以點A坐標為（1，0），點B坐標為（0， ），在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB=，得到BC=2，得到 OC=3，即點C坐標為（﹣3，0）；（2）OA=1，OB=，AB=2，得到∠ABO=30°，同理：BC=2 ，∠OCB=30°，得到∠OBC=60°，∠ABC=90°，分兩種情況考慮：若M在線段BC上時，BC=2，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，此時S△ABM=BMAB÷2=（2 ﹣t）×2÷2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；若M在BC延長線上時，BC=2，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，此時S△ABM=BMAB÷2=（t﹣2）×2÷2=t﹣2（t≥2）；（3）當P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標相同，此時Q坐標為（1，2），②AP=AQ= 2÷3 ，Q與A的橫坐標相同，此時Q坐標為（1， 2÷3），當P在y軸負半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標相同，此時Q坐標為（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此時Q坐標為（﹣1，0），綜上，滿足題意Q坐標為（1，2）、（1，﹣2）、（1， 2÷3 ）、（﹣1，0）．