Question

已知：如圖，斜坡PQ的坡度i=1：，在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，頂端A處有一旋轉式噴頭向外噴水，水流在各個方向沿相同的拋物線落下，水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，以O點為原點，OA所在直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x軸建立直角坐標系．設水噴到斜坡上的最低點為B，最高點為C．
（1）寫出A點的坐標及直線PQ的解析式；
（2）求此拋物線AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B點與C點間的距離．

Answer 1

解：（1）過點C作CD⊥x軸一點D，
∵在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A點的坐標為：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴設C點橫坐標為x，則縱坐標為：x，
∴直線PQ的解析式為：；

（2）過點M作MN⊥x軸于點N，作AF⊥MN于點F，連接AM，
∵水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，則AF=，
∴M點坐標為：（，2），代入y=a（x-） ²+2，
再將（0，1）代入上式得：
1=a（0-） ²+2，
解得：a=-，
此拋物線AMC的解析式為：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1；

（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯立：
x=-x ²+x+1，
整理得出：x ²-x-3=0，
解得：x₁=，x₂=，
故C點橫坐標為：，B點橫坐標為：，
∴|x_C-x_B|=-=（m）；

（4）過點B作BH⊥CD于點H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴tan∠CBH==，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=，
∴BC===2（m）．
分析：（1）利用AO長度得出A點坐標即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1：，求出直線PQ的解析式；
（2）首先根據已知得出M點坐標，進而利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯立，求出B，C點的橫坐標進而得出|x_C-x_B|的值；
（4）構造直角三角形，利用BC=求出即可．
點評：本題考查了二次函數的應用以及坡度問題和解直角三角形的應用等知識，正確構造出直角三角形是解題關鍵．