Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，x₁，x₂是方程x²+4x﹣5=0的兩根．
（1）若拋物線的頂點為D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函數的解析式．

Answer 1

（1）1：1；（2）y=x²+x﹣．

解析試題分析：（1）首先解一元二次方程，求出點A、點B的坐標，得到含有字母a的拋物線的交點式；然后分別用含字母a的代數式表示出△ABC與△ACD的面積，最后得出結論；
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系數a，得出拋物線的解析式．
試題解析：（1）解方程x²+4x-5=0，得x=-5或x=1，
由于x₁＜x₂，則有x₁=-5，x₂=1，
∴A（-5，0），B（1，0）．
拋物線的解析式為：y=a（x+5）（x-1）（a＞0），
∴對稱軸為直線x=-2，頂點D的坐標為（-2，-9a），

令x=0，得y=-5a，
∴C點的坐標為（0，-5a）．
依題意畫出圖形，如右圖所示，則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
過點D作DE⊥y軸于點E，則DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a．
S_△ACD=S_梯形ADEO-S_△CDE-S_△AOC
=（DE+OA）•OE-DE•CE-OA•OC=（2+5）•9a-×2×4a-×5×5a=15a，
而S_△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，
∴S_△ABC：S_△ACD=15a：15a=1：1；
（2）如解答圖，過點D作DE⊥y軸于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，
設對稱軸x=-2與x軸交于點F，則AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²．
∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即（9+81a²）+（4+16a²）=25+25a²，化簡得：a²=，
∵a＞0，
∴a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x+5）（x﹣1）=x²+x﹣．
考點: 二次函數綜合題．