Question

【題目】已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖像與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點D的坐標為，點P在二次函數的圖像上，∠ADP為銳角，且，請直接寫出點P的橫坐標；

（3）點E在x軸的正半軸上，，點O與點關于EC所在直線對稱，過點O作的垂線，垂足為點N，ON與EC交于點M．若，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）點E的坐標為

【解析】

（1）根據對稱軸坐標公式可求二次函數圖象的對稱軸，當時,,可求點C的坐標為,根據三角形面積公式可求,進一步得到A點和B點的坐標分別為，，再用待定系數法即可求二次函數的解析式；

(2)作軸于點F.分兩種情況:(ⅰ)當點P在直線AD的下方時;(ⅱ)當點P在直線AD的上方時,延長至點G使得,連接DG,作軸于點H,兩種情況討論可求點的坐標；

(3)連接,交CE于T.連接,根據三角函數的整數可得,同理,得到,從而得到點E的坐標.

（1）當x = 0時，，∴ ,

∵ ，∴ AB = 6,

又∵ 二次函數圖像的對稱軸是直線，

∴ ，,

∴ ，解得,

∴ 二次函數的解析式為,

（2）如圖,作軸于點F.分兩種情況:

(ⅰ)當點P在直線AD的下方時,如圖所示,

由(1)得點,點,

∴DF=1，AF=2，

在Rt△ADF中，,,得.

延長DF與拋物線交于點,則點即為所求.

將x=-2代入拋物線解析式，得y=-4，

∴點的坐標為.

(ⅱ)當點P在直線AD的上方時,延長至點G使得,連接DG,作軸于點H,如圖所示，在與中，

∴≌（AAS）.

,

又,

∴點G的坐標是

在中, ，，

設DG與拋物線的交點為,則點為所求.

作于點K,作交DK于點S.

設點的坐標為,

則,

.

由，,,得.

整理,得

解得.

點在第二象限,橫坐標為負，

點的橫坐標為

綜上,P點的橫坐標為或.

（3）如圖，聯結，交EC于點T，聯結．

∵ 點O與點關于EC所在直線對稱，

∴ ⊥EC，，．

∴ ⊥

又∵ ON⊥，∴ ∥ON．

∴ ．

∴ OC = OM

∴ CT = MT

在Rt△ETO中，∠ETO = 90°，．

在Rt△COE中，∠COE = 90°，．

∴

∴

同理可得

∴

∵ ，∴ OE = 8

∵ 點E在x軸的正半軸上

∴ 點E的坐標為．