Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，可以推出△ABP與△ECP相似的有_______。
①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分線垂直于BC；③P是BC的中點；④BP：BC=2：3．

Answer 1

①②④

解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
當∠APB=∠EPC時，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP；
當∠APE的平分線垂直于BC，如圖所示：
∵QP⊥BC，
∴∠QPB=∠QPC=90°，
又∵PQ為∠APE的平分線，
∴∠APQ=∠EPQ，
∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，
同理可得出△ABP∽△ECP；
當P為BC中點時，BP=CP= BC，
又∵E為CD的中點，
∴DE=CE=CD，
∴PC=EC，
又∵∠C=90°，
∴△PEC為等腰直角三角形，
而AB=2BP，△ABP不為等腰直角三角形，
則P是BC的中點時，兩三角形不相似；
當BP：BC=2：3時，設BP=2k，則BC=3k，
∴CP=BC-BP=3k-2k=k，
又∵E為CD的中點，
∴CE=DE= CD=BC= k，
∴，，
∴，且∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP，
綜上，可以得到△ABP∽△ECP的選項為①②④．
故答案為：①②④