Question

如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射線DE上的動點．設DP＝x cm（），四邊形BCDP的面積為y cm²．
①求y關于x的函數關系式；
②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

Answer 1

證明：（1）∵，，∴DE垂直平分AC，
∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．
∴△DCF∽△ABC．
∴，即．
∴AB·AF＝CB·CD．
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴，∴．
∴（）．
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，點C關于直線DE的對稱點是點A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．
顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小．
此時DP＝DE，PB+PA＝AB．
由（1），，，得△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得，EF=．
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．
∴AD＝10．
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，
∴DF＝8．
∴．
∴當時，△PBC的周長最小，此時．

（1）根據已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對角對應相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據相似三角形的對應邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）①根據勾股定理求出AC的長，從而求得CF的長，根據題意四邊形BCDP是梯形，根據梯形的面積公式即可得到求y關于x的函數關系式；②根據兩點之間線段最短，當點P在AB上時，PA+PB最小即點P與E重合時，△PBC周長最小，從而利用勾股定理分別求得AC、AF、AE、DE的長，從而就求得了x的值．