Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動點P從點B開始沿邊BC向點C以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CA向點A以每秒1個單位長度的速度運動，連接PQ，點P、Q分別從點B、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當t=5秒時，三角形△PCQ的面積最大．
（2）在整個運動過程中，線段PQ的中點所經過的路程長為5$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意得到CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，根據三角形的面積公式得到S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，根據二次函數的頂點坐標公式即可得到結論；
（2）線段PQ的中點所經過的路程為一個三角形的中位線長．

解答 解：（1）∵CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，
∵∠C=90°，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，
當t=-$\frac{15}{-2×\frac{3}{2}}$=5時，三角形△PCQ的面積最大；

（2）線段PQ的中點所經過的路程是線段MN的長，如圖所示：
當P在B處，Q在C處時，PQ的中點為BC的中點，當點Q運動10秒時，P、Q停止運動，
PQ的中點為N，P到達D，Q到達A，
過點A作AE∥MN交BC于點E，
此時CD=30-3×10=0，
∴MD=15-0=15，
∵N是AD的中點，
∴M是DE的中點，
∴EM=DM=15，MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴CE=0+15+15=30，
∴AE=$\sqrt{3{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∴MN=5$\sqrt{10}$；
 即線段PQ的中點所經過的路程長為$5\sqrt{10}$．
故答案為：5，5$\sqrt{10}$．

點評 本題考查二次函數的應用，勾股定理，三角形面積的計算，三角形中位線的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．