Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）求證：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，

∴DE、EF都是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，

∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，

∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．

【解析】（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據平行四邊形的定義證明即可；（2）根據平行四邊形的對角相等可得∠DEF=∠BAC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，FH=AF，再根據等邊對等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．
【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和三角形中位線定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．