Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，點C（3，0），函數y= （k＞0，x＞0）的圖象經過OABC的頂點A（m，n）和邊BC的中點D．

（1）求m的值；
（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；
（3）若P為函數y═ （k＞0，x＞0）的圖象上一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，直線l與x軸上方的OABC的一邊交于點N，設點P的橫坐標為t，當 時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點C（3，0），OABC的頂點A（m，n），

∴B（m+3，n），

∴D（ +3， ），

∵函數y= （k＞0，x＞0）的圖象經過OABC的頂點A（m，n）和邊BC的中點D，

∴mn=k， ，

∴m=2

（2）

解：∵點D是平行四邊形BC中點，

∴S平行四邊形OABC=2S△OAD=12，

∵S平行四邊形OABC=3×n=12，

∴n=4，

由（1）知，m=2，

∴k=mn=8

（3）

解：①如圖1，點N在OA上，

由（1）知，m=2，

∴A（2，n）．

即0＜t＜2

直線OA的解析式為y= x，

設點P的橫坐標為t，

∴P（t， ），

∵過點P作直線l⊥x軸于點M．

∴N（t， t），M（t，0），

∴PN= ﹣ t，PM= ，

∵ ，

∴ =4（ ﹣ t），

∴t= 或t=﹣ （舍），

②如圖2，

當點N在AB上時，

由（1）知，B（5，n），

∴2≤t≤3

由題意知，P（t， ）．N（t，n），M（t，0），

∵ ，

∴4（n﹣ ）= ，

∴t= ，

③如圖3，4，

當點N在BC上時，（3＜t≤5）

∵B（5，n），C（3，0），

∴直線BC解析式為y= x﹣ ，

∴P（t， ），N（t， t﹣ ），M（t，0），

∵ ，

∴4| t﹣ ﹣ |= ，

∴t= 或t= （舍）或t= 或t= （舍）

∴t的值為 ， ， 或

【解析】（1）根據平行四邊形的性質確定出B的坐標從而確定出D的坐標，而點A，D在反比例函數圖象上，建立方程求出m，（2）根據三角形OAD的面積是平行四邊形OABC面積的一半，確定出n即可；（3）根據平行四邊形的性質和雙曲線的性質，確定出PM，ON即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．