Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax 2＋bx＋c的頂點為M（1，4），與x軸的右交點為A，與y軸的交點為B，點C與點B關于拋物線的對稱軸對稱，且S△ABC ＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是y軸上一點，將點D繞C點逆時針旋轉90°得到點E，若點E恰好落在拋物線上，請直接寫出點D的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸與直線AB交于點F，問：在x軸上是否存在點P，使得以P、A、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝－x 2＋2x＋3 （或寫頂點式 ）；（2）D（0，4+）或（0，4-）；；（3）P1（，0）P2（－3，0）

【解析】試題分析：（1）根據B、C是對稱點確定BC=2，然后再根據面積確定OB的長，從而確定出點B坐標，再利用待定系數法即可求得解析式；

（2）設D（0，d），然后根據旋轉的性質確定出點E坐標，由點E在拋物線上，代入進行求解即可得；

（3）根據題意畫出所有滿足條件的圖形，然后分情況進行求解即可.

試題解析：(1）由題意可知對稱軸為x=1，點B在y軸上，點B與點C是對稱點，所以BC=2，

又S△ABC ＝=3，所以OB＝3，所以點B（0，3），

設拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，

∵點B的坐標為（0，3），

∴a+4=3，

∴a=-1，

∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；

（2）由點B與點C是對稱點，所以點C（2，3），

如圖，設點D（0，d），有如下兩種情況，則有BD=|3-d|，

由已知易得△CBD≌△CFE，∴CF=CB=2，EF=BD=|3-d|，

所以E（5-d，1），

由點E恰好落在拋物線上，則有：1=-（5-d-1）2+4，

解得：d=4±，

所以D（0，4+）或（0，4-）；

（3）令y=0，0=-（x-1）2+4，解得：x=3或x=-1，

所以A（3，0），

因為B（0，3），所以OA＝OB，所以∠BAO=45°，AB=3，

∵BC//OA，∴∠CBA=∠BAO=45°，

∵對稱軸為x=1，∴F（1，2），AF=2 ，

如圖，若△PAF∽△CAB，則有PA：CB=AF：AB，∴PA=，

∴OP=OA-PA=，∴P（，0）；

如圖，若△PAF∽△ABC，則有PA：AB=AF：BC，∴PA=6，

∴OP=PA-AO=3，∴P（-3，0），

綜上，P1（，0），P2（-3，0）.