Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為矩形,OA=3,OC=4,P為直線AB上一動點,將直線OP繞點P逆時針方向旋轉90交直線BC于點Q.

(1)當點P在線段AB上運動(不與A,B重合)時，求證：OABQ=APBP；

(2)在(1)成立的條件下，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為，求出關于m的函數解析式，并判斷是否存在最小值?若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；

(3)直線AB上是否存在點P，使△POQ為等腰三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；（3）存在，

【解析】

（1）根據已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到OABQ=APBP；
（2）由第一問可求得BQ的值，從而求得l關于m的關系式，利用二次函數最值即可得到最小值；

（3）因為△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根據等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值，從而確定點P的坐標．

證明：（1）∵PO⊥PQ，

∴∠APO+∠BPQ=90，

在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90，

∴∠BPQ=∠AOP，

∴△OAP∽△PBQ，

∴，

即OABQ=APBP.

(2)∵OABQ=APBP，即，

∴

∴當m=2時，l有最小值.

(3) ∵△POQ是等腰三角形

∴PO=PQ，

即PA2+AO2=PB2+BQ2

則m2+32=(4m)2+()2

整理得m48m3+16m272m+63=0

m48m3+7m2+9m272m+63=0

m2(m28m+7)+9(m28m+7)=0

(m1)(m7)(m2+9)=0

∴m1=1,m2=7,m2=9(舍去)

故存在P1(1,3)，P2(7,3)使△POQ為等腰三角形.