Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的頂點D關于射線CP的對稱點G落在正方形內，連接BG并延長交邊AD于點E，交射線CP于點F．連接DF，AF，CG．

（1）試判斷DF與BF的位置關系，并說明理由；

（2）若CF＝4，DF＝2，求AE的長；

（3）若∠ADF＝2∠FAD，求tan∠FAD的值．

Answer 1

【答案】(1)DF⊥BF，見解析；(2)；(3)2﹣

【解析】

(1)由軸對稱的性質可得CD=CG，DF=FG，由“SSS”可證△CDF≌△CGF，可得∠CDF=∠CGF，由等腰三角形的性質和四邊形內角和定理可求∠DFB=90°，可得結論；

(2)過點C作CH⊥BF于H，由等腰直角三角形的性質可求CH=FH=4，由勾股定理可求CG=BC=CD=2，通過證明△AEB∽△HBC，可得，即可求解；

(3)連接BD，過點F作FM⊥AD于M，作∠AFN=∠FAD，交AD于N，由題意可證點D、F、A、B四點共圓，可得∠DBF=∠DAF，∠FDA=∠FBA，可求∠FDA=30°，∠FAD=15°，利用銳角三角函數即可求解．

解：(1)DF⊥BF，

理由如下：

∵點D關于射線CP的對稱點G，

∴CD=CG，DF=FG，

又∵CF=CF，

∴△CDF≌△CGF(SSS)，

∴∠CDF=∠CGF，

∵CD=CB=CG，

∴∠CGB=∠CBG，

∵∠CGB+∠CGF=180°，

∴∠CBG+∠CDF=180°，

∵∠CDF+∠DFB+∠CBF+∠DCB=360°，

∴180°+90°+∠DFB=360°，

∴∠DFB=90°，

∴DF⊥BF；

(2)如圖，過點C作CH⊥BF于H，

∵△CDF≌△CGF，∠DFB=90°，

∴∠CFD=∠CFG=45°，DF=FG=2，

∵CH⊥BF，

∴∠CFH=∠FCH=45°，

∴CH=FH，

∴CF=CH=4，

∴CH=FH=4，

∴GH=FH﹣FG=2，

∴CG，

∴CD=CG=BC=AB=，

∵CB=CG，CH⊥BG，

∴BH=GH=2，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBH，

又∵∠DAB=∠CHB=90°，

∴△AEB∽△HBC，

∴，

∴，

∴AE=；

(3)連接BD，過點F作FM⊥AD于M，作∠AFN=∠FAD，交AD于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠DFB=∠DAB=90°，

∴點D、F、A、B四點共圓，

∴∠DBF=∠DAF，∠FDA=∠FBA，

∵∠ABD=∠FBD+∠FBA=∠FDA+∠DAF=45°，∠ADF=2∠FAD，

∴∠FDA=30°，∠FAD=15°，

∵∠AFN=∠FAD=15°，

∴∠FNM=30°，

又∵FM⊥AD，

∴NM=FM，FN=2MF=AN，

∴AM=AN+MN=(2+)FM，

∴tan∠FAD=．