Question

【題目】如圖，在多邊形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，過點E作EF∥CB交AB于點F，FB=1，過AE上的點P作PQ∥AB交線段EF于點O，交折線BCD于點Q，設AP=x，POOQ=y．

（1）①延長BC交ED于點M，則MD= ， DC=；

（2）求y關于x的函數解析式；
（3）當a≤x≤ （a＞0）時，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（4）當1≤y≤3時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）2；1
（2）解：∵AP=x，EP=2﹣x，

在RT△AEF中，tan∠AEF= = =2，

∴PO=PEtan∠AEF=2×（2﹣x）=﹣2x+4．

當0＜x≤1時，

∵OQ=FB=1，

∴y=POOQ=（﹣2x+4）×1=﹣2x+4；

當1＜x≤2時，

∵PQ=3，∴OQ=3﹣OP，

∵POOQ=y，

∴y=PO（3﹣PO）=（﹣2x+4）（3+2x﹣4）=﹣4x2+10x﹣4，

∴y=

（3）

解：當a≤x≤ （a＞0）時，9a≤y≤6b，

∵y=﹣2x+4，

∴y隨x的增大而減小，

∴4﹣2× =9a，4﹣2a=6b，

解得：a= ，b=

（4）

解：圖象如圖所示，

①當0＜x≤1時，1≤4﹣2x≤3，

∴ ≤x≤ ，

∴ ≤x≤1，

②當1＜x≤2時，y=﹣4x2+10x﹣4的對稱軸為x= ，ymax= ，

當y=1，x= ，而 ＜2，

∴1≤x≤ ，

綜上所述：當1≤y≤3時，x的取值范圍為 ≤x≤ ．

【解析】解：（1）①∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四邊形OFBQ是平行四邊形，
∴OQ=BF=1，
∵∠A=∠AED=90°，
∴DE∥AB，
∴四邊形EMBF是平行四邊形，
∴EM=BF=1，
∵DE=3，
∴DM=2，
∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴ ，
∵AF=AB﹣BF=4，
∴ ，
∴CD=1；
所以答案是：2，1；

【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．