Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，E是半圓 上一動點，連接AE、AD、DE． 填空：
①當 的長度是時，四邊形ABDE是菱形；
②當 的長度是時，△ADE是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵∠BAC=90°，點D為BC的中點，

∴DB=DA=DC，

∵∠B=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，

而OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD=30°，

∴∠ODB=60°+30°=90°，

∴OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切線；

（2） π； π或π
【解析】（2）解：①∵△ABD為等邊三角形， ∴AB=BD=AD=CD= ，
在Rt△ODC中，OD= CD=1，
當DE∥AB時，DE⊥AC，
∴AD=AE，
∵∠ADE=∠BAD=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴AB=BD=DE=AE，
∴四邊形ABDE為菱形，
此時 的長度= = π；
②當∠ADE=90°時，AE為直徑，點E與點F重合，此時 的長度= =π；
當∠DAE=90°時，DE為直徑，∠AOE=2∠ADE=60°，此時 的長度= = π，
所以當 的長度為 π或π時，△ADE是直角三角形．
故答案為 π； π或π．

（1）連接OD，如圖，利用斜邊上的中線性質得DB=DA=DC，則可判斷△ABD為等邊三角形得到∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，然后計算出∠ODB=90°，從而根據切線的判定定理可判定BD是⊙O的切線；（2）解：①利用△ABD為等邊三角形得到AB=BD=AD=CD= ，則可計算出OD= CD=1，當DE∥AB時，DE⊥AC，先證明△ADE為等邊三角形，再證明四邊形ABDE為菱形，然后利用弧長公式計算此時 的長度；②討論：當∠ADE=90°時，AE為直徑，利用弧長公式可計算出此時 的長度；當∠DAE=90°時，DE為直徑，利用圓周角定理得到∠AOE=2∠ADE=60°，然后利用弧長公式可計算出此時 的長度．