Question

如圖，四邊形ABCO是矩形，點A（3，0），B（3，4），動點M、N分別從點O、B出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP∥OC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒，△MPA的面積為S．
（1）求點P的坐標．（用含x的代數式表示）
（2）寫出S關于x的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）當△APM與△ACO相似時，求出點P的坐標．
（4）△PMA能否成為等腰三角形？如能，直接寫出所有點P的坐標；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定直線AB的解析式，以及N點的坐標后可以確定P點的橫坐標，再把它代入直線方程解出P點坐標．
（2）由P點的縱坐標可以知道△MPA中邊AM上的高，再求出AM的長，即可求得三角形面積．
（3）當△APM與△ACO相似時∠APM=90°，

AP

AM

=

AO

AC

或者

AM

AP

=

AO

AC

，根據這個式子列出等量關系可以求得x的值．進而求得P點坐標．
（4）△PMA能成為等腰三角形時，有兩邊長相等，此時分三種情況①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根據勾股定理得出關于x的方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
過點A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-

4

3

x+4，
N點坐標為（3-x，4），所以P點橫坐標為：3-x，
代入直線解析式得縱坐標為

4

3

x，
所以P點坐標為：（3-x，

4

3

x）；

（2）AM邊上的高為P點縱坐標，
所以有：h=

4

3

x，
M點坐標為（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=

1

2

AM•h，
解得：S=-

2

3

x2+2x=-

2

3

(x-

3

2

)2 +

3

2

，
解得S的最大值為

3

2

，

（3）由題目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=

5

3

x，
∵

AP

AM

=

AO

AC

∴

5 3 x

3-x

=

3

5

，解得：
x=

27

34

，即P點坐標為（

75

34

，

18

17

），
同理可得當

AM

AP

=

AO

AC

時，
P點坐標為（

3

2

，2）；
故有P點坐標為：P₁（

75

34

，

18

17

）、P₂（

3

2

，2）；

（4）△PMA能成為等腰三角形，
有三種情況：①AM=AP時，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=（3-x）²，
解得：x₁=

9

8

，x₂=-

9

2

（舍去），
∴3-x=

15

8

，

4

3

x=

3

2

，
∴P的坐標是（

15

8

，

3

2

），
②AP=PM時，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴3-x=2，

4

3

x=

4

3

，
∴P的坐標是（2，

2

3

），
③MP=MA時，[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2=（3-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=

54

43

，
∴3-x=

75

43

，

4

3

x=

72

43

，
∴P的坐標是（

75

43

，

72

43

），
即P點的坐標分別為
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．
答：△PMA能成為等腰三角形，此時P點的坐標分別為
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．

點評：本題屬于綜合題，主要考查了二次函數的性質和最值求法，同時還考查了三角形的相關知識．