Question

如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點，與x軸交于另一點D．一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發沿BA向點A運動，運動到A停止，同時一動點Q從點D出發，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點C運動，與點P同時停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點E，與x軸交于點F，當點P運動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？
（3）當t為何值時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）根據AB、OB的長，即可得到A、B點的坐標；由于四邊形ABCO是平行四邊形，則AB=OC，由此可求出OC的長，即可得到C點的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式可求出D點的坐標及拋物線的對稱軸方程，進而可求出E、F的坐標；若四邊形POQE是等腰梯形，則OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根據這個等量關系即可求出t的值；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，對應相等，若以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，則有兩種情況：
①P、Q在y軸同側，②P、Q在y軸兩側；
每種情況又分為△PBO∽△QOB（此時兩者全等），△PBO∽△BOQ兩種情況；根據不同的相似三角形所得到的不同的比例線段即可求出t的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OC=AB=4
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）；（1分）
∵拋物線y=ax²+bx+c過點B，
∴c=2（2分）
由題意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2

解得

a=- 1 16 b= 1 4

（3分）
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；（4分）

（2）將拋物線的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

∴拋物線的對稱軸為x=2；（5分）
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE，即BP=FQ；
∴t=6-3t，
即t=1.5；（7分）


（3）欲使以點P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB•QO；
①若P、Q在y軸的同側；
當PB=OQ時，t=8-3t，
∴t=2．（8分）
當OB²=PB•QO時，t（8-3t）=4，
即3t²-8t+4=0，
解得t=2，t=

2

3

；
②當P、Q在y軸的兩側；
當PB=OQ時，Q、C重合，P、A重合，此時t=4；
當OB²=PB•QO時，t（3t-8）=4，
即3t²-8t-4=0，
解得t=

4±2 7

3

；
∵t=

4-2 7

3

＜0，故舍去；
∴t=

4+2 7

3

；（11分）
∴當t=2或t=

2

3

，4或t=

4+2 7

3

秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似．（12分）

點評：此題是二次函數的綜合類試題，涉及到二次函數解析式的確定、等腰梯形的判定、相似三角形的判定和性質等重要知識點，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．