Question

如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A停止，同時一動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動，與點(diǎn)P同時停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OC=AB，然后寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，最后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，然后寫出點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)，根據(jù)等腰梯形的兩腰相等可得OP=QE，從而得到BP=FQ，然后列出關(guān)于t的方程求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OC=AB=4，
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

16a+4b+c=2 c=2 16a-4b+c=0

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

16

x²+

1

4

x+2；

（2）∵y=-

1

16

x²+

1

4

x+2=-

1

16

（x-2）²+

9

4

，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴OD=CF+OF=4+2+2=8，
∴點(diǎn)D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0），
欲使四邊形POQE是等腰梯形，則OP=QE，
∴BP=FQ，
即t=（8-2）-3t，
解得t=

3

2

，
因此，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動

3

2

s時，四邊形POQE是等腰梯形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰梯形的兩腰相等的性質(zhì)，（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)直角三角形的斜邊與一直角邊相等得到另一對直角邊BP、FQ相等列出方程是解題的關(guān)鍵．