Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．

（1）求證：BM∥DN；

（2）求證：四邊形MPNQ是菱形；

（3）矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么數量關系時四邊形MPNQ為正方形，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）當AB＝AD時，四邊形MPNQ為正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）因為M，N分別是AD，BC的中點，由矩形的性質可得DM＝BN，DM∥BN，利用平行四邊形的判定和性質可得結論；

（2）由四邊形DMBN是平行四邊形，求出BM＝DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上中線性質求出MQ＝NQ，根據菱形判定推出即可．

（3）根據正方形的性質進行解答即可．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分別AD、BC的中點，

∴DM＝BN，

∴四邊形DMBN是平行四邊形；

∴BM∥DN；

（2）∵四邊形DMBN是平行四邊形，

∴BM＝DN，BM∥DN，

∵P、Q分別BM、DN的中點，

∴MP＝NQ，MP∥NQ，

∴四邊形MPNC是平行四邊形，

連接MN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分別AD、BC的中點，

∴DM＝CN，

∴四邊形DMNC是矩形，

∴∠DMN＝∠C＝90°，

∵Q是DN中點，

∴MQ＝NQ，

∴四邊形MPNQ是菱形．

（3）當AB＝AD時，四邊形MPNQ為正方形，

理由：∵AB＝AD，

∴AB＝AM，

∴矩形ABNM是正方形，

∵P為正方形ABNM對角線BM的中點，

∴∠NPM＝90°，

∵四邊形MPNQ是菱形，

∴四邊形MPNQ是正方形．