Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，過拋物線與y軸的交點作y軸的垂線，則稱這條垂線是該拋物線的伴隨直線.例如：拋物線的伴隨直線為直線.拋物線的伴隨直線l與該拋物線交于點A、D（點A在y軸上），該拋物線與x軸的交點為B(-1,0)和C（點C在點B的右側）.

（1）若直線l是y=2，求該拋物線對應的函數關系式.

（2）求點D的坐標（用含m的代數式表示）.

（3）設拋物線的頂點為M，作OA的垂直平分線EF，交OA于點E，交該拋物線的對稱軸于點F.

①當△ADF是等腰直角三角形時，求點M的坐標.

②將直線EF沿直線l翻折得到直線GH，當點M到直線GH的距離等于點C到直線EF的距離時，直接寫出m的值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對應的函數關系式為；（2）點D的坐標為；（3）點M的坐標為或；（4）， ， ．

【解析】試題分析：（1）求出A、B的坐標，用待定系數法求解即可；

（2）由拋物線經過點B，得到．將該拋物線配方，得到對稱軸是直線，從而得到點D的坐標．

（3）①分三種情況討論：i）當，且∠AFD=90°時；ii）當，∠AFD=90°時；iii）當時．

②設GH交y軸于G，則GA=AE=EO=，拋物線頂點M為（m， ），由，得到，解方程即可．

試題解析：解：（1）由題意，得A的坐標為．

∵拋物線經過點B（－1，0），∴

解得：

∴該拋物線的對應的函數關系式為．

（2）∵拋物線經過點，∴，∴．

將該拋物線配方，得，∴對稱軸是直線，∴點D的坐標為（2m， ）．

（3）①當，且∠AFD=90°時，則△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴當時， ，∴點M的坐標為（， ）．

當，∠AFD=90°時，則△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴當時， ，∴點M的坐標為（， ）．

當時，EF>AE．此時△ADF不是等腰直角三角形．

綜上所述：點M的坐標為（， ）或（， ）．

②設GH交y軸于G，則GA=AE=EO=，拋物線頂點M為（m， ）．∵，∴，∴，或，解得： 或或．