Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E在BC邊上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF與CD相交于點G.

（1）如圖1，當∠AEC = ，AE=4時，求FG的長；

（2）如圖2，在AB邊上截取點H，使得DH=AE，DH與AF、AE分別交于點M、N，求證：AE=AH+DG

Answer 1

【答案】（1）FG＝2；（2）見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質，平行線的性質，角平分線的性質可得出∠DAF=∠F=30°，進一步可求得∠GDF=∠F=30°，從而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.

（2）根據已知條件可證得AE=DH且AE⊥DH，從而證得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,從而證得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG.

（1）當∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°，

即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°，

在三角形ABE中，

AE＝4，

所以，BE＝2，AB＝2，

所以，AD＝AB＝2，

又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°，

所以，∠F＝∠DAG＝30°，

又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°，

所以　FG＝DG

在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2

（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,

在Rt△ADH和Rt△BAE中

∴Rt△ADH≌Rt△BAE，

∴∠ADH=∠BAE,

∵∠BAE+∠DAE=90°，

∴∠ADH+∠DAE=90°，

∴∠AND=90°.

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAG=∠EAG,

∵∠ADH=∠BAE,

∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.

即∠MAH=∠AMH.

∴AH=MH.

∵AE∥DF,

∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F

∴∠GDF=∠ADM,

∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F,

即∠DMG=∠DGM.

∴DM=DG.

∵DH=DM+HM,

∴AE=AH+DG.