Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點，，，以為頂點的拋物線過點，動點從點出發，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，運動時間為秒，過點作軸交拋物線于點，交于點．

直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；

當為何值時，的面積最大？最大值為多少？

點從點出發，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，當為何值時，在線段上存在點，使以，，，為頂點的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】； 時，的最大值為．以，，，為頂點的四邊形為菱形時，或．

【解析】

(1)A點的橫坐標同B點，縱坐標同D點，然后設頂點式求解拋物線即可；

(2)求解直線的解析式為，設從而表示出M和N的坐標；將的面積拆分為和兩部分進行計算即可；

(3)本問題分在上方和下方兩種情況討論，利用四邊形是菱形的四邊相等條件，將相關線段用t表示；當在上方時，運用三角形相似進行求解，當在下方時，運用勾股定理進行求解.

，

由題意知，可設拋物線解析式為

∵拋物線過點，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為，即；

如圖，

∵，，

∴可求直線的解析式為．

∵點．

∴將代入中，解得點的縱坐標為，

∴把，代入拋物線的解析式中，可求點的縱坐標為，

∴，

又點到的距離為，到的距離為，

即

．

當時，的最大值為．

由題意和知，，，，，

，，可求，

當在上方時，如圖，過點作，

由四邊形是菱形，可知：，

此時，，，

∴，

，

解得：，

當點在下方時，如圖，

由四邊形是菱形，可知：，

∴，，

在直角三角形中，，

∴，

解得或（舍去），

所以，以，，，為頂點的四邊形為菱形時，或．