Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．
①寫出點M′的坐標；
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2 ， 當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，

∵M在拋物線上，且在第一象限內，

∴0＜m＜3，

過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，

由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），

∴D的縱坐標為：﹣m2+2m+3，

∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，

∴x= ，

∴D的坐標為（ ，﹣m2+2m+3），

∴DM=m﹣ = ，

∴S= DMBE+ DMOE

= DM（BE+OE）

= DMOB

= × ×3

=

= （m﹣ ）2+

∵0＜m＜3，

∴當m= 時，

S有最大值，最大值為 ；

（3）

解：①由（2）可知：M′的坐標為（ ， ）；

②

過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，

根據題意知：d1+d2=BF，

此時只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴點F在以BM′為直徑的圓上，

設直線AM′與該圓相交于點H，

∵點C在線段BM′上，

∴F在優弧 上，

∴當F與M′重合時，

BF可取得最大值，

此時BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

過點M′作M′G⊥AB于點G，

設BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值；（2）過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，所以△ABM的面積為 DMOB，設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數關系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值；
②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點F在以BM′為直徑的圓上，所以當點F與M′重合時，BF可取得最大值．本題考查二次函數的綜合問題，涉及待定系數求二次函數解析式，求三角形面積，圓的相關性質等知識，內容較為綜合，學生需要認真分析題目，化動為靜去解決問題．