Question

【題目】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

（1）求∠AEB的度數．

（2）如圖2，過點E的直線交射線線AM于點C，交射線BN于點D，求證：AC+BD＝AB；

（3）如圖3，過點E的直線交射線線AM的反向延長線于點C，交射線BN于點D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面積．

Answer 1

【答案】(1) ∠AEB=90°；（2）見解析；（3）8.

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠BAM+∠ABN=180°，根據角平分線的定義得到∠BAE=∠BAM，∠ABE=∠ABN，于是得到結論；

（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，證明△ACE≌△AFE，根據全等三角形的性質得到∠AEC=∠AEF，然后證明△BFE≌△BDE，得到BF=BD，等量代換即可得到結論；

（3）延長AE交BD于F，根據等腰三角形的性質得到AB=BF=5，AE=EF，根據全等三角形的性質得到DF=AC=3，設S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，根據S△ABE-S△ACE=2，即可得到結論．

解：（1）∵AM∥BN，

∴∠BAM+∠ABN=180°，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴∠BAE=∠BAM，∠ABE=∠ABN，

∴∠BAE+∠ABE=（∠BAM+∠ABN）=90°，

∴∠AEB=90°；

（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，

在△ACE與△AFE中， ，

∴△ACE≌△AFE，

∴∠AEC=∠AEF，

∴∠AEB=90°，

∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，

∴∠FEB=∠DEB，

在△BFE與△BDE中， ，

∴△BFE≌△BDE，

∴BF=BD，

∵AB=AF+BF，

∴AC+BD=AB；

（3）延長AE交BD于F，

∵∠AEB=90°，

∴BE⊥AF，BE平分∠ABN，

∴AB=BF=5，AE=EF，

∵AM∥BN，

∴∠C=∠EDF，

在△ACE與△FDE中，，

∴△ACE≌△FDE，

∴DF=AC=3，

∵BF=5，

∴設S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，

∵S△ABE-S△ACE=2，

∴5x-3x=2，

∴x=1，

∴△BDE的面積=8．