Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有二次函數(shù)，頂點(diǎn)為，與軸交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），易證點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且在直線上．過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)，、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為________

Answer 1

【答案】8

【解析】

設(shè)=0，則可求出拋物線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即A和B的坐標(biāo)，再把拋物線解析式配方可求出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出過A和H點(diǎn)的直線解析式，

因?yàn)檫^點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，所以直線BK的斜率和直線AH的相等，又過B，所以可求出直線BK的解析式，再把直線l的解析式和BK的解析式聯(lián)立，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

設(shè)=0，

解得x1=-3，x2=1，

∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

∵=-（x+1）2+2，

∴頂點(diǎn)H的坐標(biāo)是（-1，2），

設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A和H點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k=，b=3，

∵過點(diǎn)B作直線BK∥AH，

∴直線BK的解析式為y=mx+n中的m=，

又因?yàn)?/span>B在直線BK上，代入求出n=-，

∴直線BK的解析式為：y=x-，

聯(lián)立，

解得：，

∴交點(diǎn)K的坐標(biāo)是（3，2），

則BK=4，

∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MMB，KD=KE=2，

過K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，KD=KE=2，

則QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，

∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB==8，

∴HN+NM+MK的最小值為8．

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

故答案為：8．