Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的線段AB及點P，給出如下定義：

若點P滿足PA=PB，則稱P為線段AB的“軸點”，其中，當0°＜∠APB＜60°時，稱P為線段AB的“遠軸點”；當60°≤∠APB≤180°時，稱P為線段AB的“近軸點”.

(1)如圖1，點A，B的坐標分別為(-2，0)，(2，0)，則在，，， 中，線段AB的“近軸點”是 .

(2)如圖2，點A的坐標為(3，0)，點B在y軸正半軸上，且∠OAB=30°.

①若P為線段AB的“遠軸點”，直接寫出點P的橫坐標t的取值范圍 ；

②點C為y軸上的動點(不與點B重合且BC≠AB)，若Q為線段AB的“軸點”，當線段QB與QC的和最小時，求點Q的坐標.

Answer 1

【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)當點Q的坐標為(1，0)時，線段QB與QC的和最小．

【解析】

（1）利用近軸點的意義即可得出結論；（2）①根據遠軸點的定義通過圖像判斷即可；②根據題意，點Q在線段AB的垂直平分線l上，將情況分為點B，C在l的同側以及在l的異側進行討論：當B，C在l的同側時，易知當點C與點O重合，Q為AO與直線l的交點時，QB＋QC最小，根據30°角的三角函數關系得到QC與BQ的關系，再根據OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q點坐標即可；當B，C在l的異側時，顯然QB+QC＞3，即可得到答案．

(1)P2 , P3．

(2)①t＜0或t＞3．

②根據題意，點Q在線段AB的垂直平分線l上．

當點B，C在直線l的同側時，

對于滿足題意的點C的每一個位置，都有QB+QC=QA+QC．

∵QA+QC≥AC，AC≥AO

∴當點C與點O重合，Q為AO 與直線l交點時，QB+QC最小．

∵∠OAB=30°，AQ=BQ，

∴∠QBA=∠QBO=30°．

∴OQ=BQ．

在Rt△BOQ中，設OQ=x，則AQ=BQ=2x．

∴3x=3．

解得 x=1．

∴Q(1，0)．

當點B，C在直線l的異側時，QB+QC＞3．

綜上所述，當點Q的坐標為(1，0)時，線段QB與QC的和最小．