Question

【題目】探究問題：

(1)方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點G，B，F在同一條直線上．

∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．

∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．

即∠GAF＝∠________．

又AG＝AE，AF＝AE

∴ △GAF≌△________．

∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．

(2)方法遷移：

如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.

【解析】

（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）將△ADE順時針旋轉90°得到△ABG，再證明△AGF≌△AEF，即可得出答案；

解：（1）如圖①所示；

根據等量代換得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案為：FAE；△EAF；GF；

(2)DE＋BF＝EF，理由如下：

假設∠BAD的度數為m，將△ADE繞點A順時針旋轉，m°得到△ABG，如圖，此時AB與AD重合，由旋轉可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，點G，B，F在同一條直線上．

∵ ，

∴ ．

∵ ∠1＝∠2，

∴ ∠1＋∠3＝．

即∠GAF＝∠EAF．

∵在△AGF和△AEF中，

，

∴ △GAF≌△EAF（SAS）．

∴ GF＝EF．

又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，

∴ DE＋BF＝EF．