Question

【題目】已知k為非負實數，關于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0和kx2﹣（k+2）x+k＝0．

（1）試證：前一個方程必有兩個非負實數根；

（2）當k取何值時，上述兩個方程有一個相同的實數根．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當k＝2或0或時，述兩個方程有一個相同的實數根．

【解析】

（1）先根據根的判別式求解，再根據根與系數的關系求解即可；（2）先求出第一個方程的兩個根，再分類求出即可．

（1）證明：x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

即方程關于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0一定有兩個實數根；

設方程的兩根為x1，x2，

則根據根與系數的關系得：x1+x2＝k+1，x1x2＝k，

∵k為非負實數，

∴x1+x2＝k+1＞0，x1x2＝k≥0，

∵由x1x2＝k≥0得出方程有同號兩個根或有一個根為0；

∴由x1+x2＝k+1＞0，x1x2＝k≥0得出方程有兩個正實數根或有一個根為0，

所以方程x2﹣（k+1）x+k＝0必有兩個非負實數根；

（2）x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

方程的根為，

即方程的根為k和1；

當相同的根是k時，把x＝k代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k3﹣（k+2）k+k＝0，

解得：k＝0或k＝或k＝，

∵k為非負實數，

∴k＝舍去；

當相同的根是1時，把x＝1代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k﹣（k+2）+k＝0，

解得：k＝2；

所以當k＝2或0或時，上述兩個方程有一個相同的實數根．