Question

【題目】(1)問題引入：如圖1所示，正方形和正方形，則與的數量關系是 ， ；

(2)類比探究：如圖2所示，為、的中點，正方形和正方形中，判斷和的數量關系，并求出的值．

(3)解決問題：

①若把(1)中的正方形都改成矩形，且，則(1)中的結論還成立嗎?若不能成立，請寫出與的關系，并求出的值；

②若把(2)中的正方形也都改成矩形，且，請直接寫出和的關系以及的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，理由見解析；(3)①結論不成立．此時．理由見解析；②．

【解析】

（1）根據SAS證明△ABE≌△ADG即可得到BE=DG，連接AC、AF，證明△CAF∽△DAG，即可得到；

（2）連接，證明△EOH≌△FOG得到，再證明，得到，得到BE=FC，再證明即可求出；

（3）①證明得到BE=3DG，連接，根據tan∠FAG=tan∠CAD=3，證明，根據證明，得到；

②連接，證明△EOH≌△FOG得到，再證明，得到，得到BE=FC，再證明即可求出.

(1) ∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD,

即∠BAE=∠DAG,

∴△ABE≌△ADG，

∴BE=DG，

連接AC、AF，則， ,

∵∠CAD=∠FAG=45°，

∴∠CAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD,

∴∠CAF=∠DAG，

∴△CAF∽△DAG，

∴

(2).

理由如下：連接

∵正方形是中點，

.

.

.

同理：

又，

.

.

.

.

.

又，

，

又

(3)①結論不成立.此時.

理由如下：由題可得，

.

又

.

.

連接

，

.

又，

.

②,

理由如下：連接,

∵矩形是中點，

.

.

.

同理：

又 ，

.

.

.

.

.

又，

，

∵，

∴，

∴，

∵AB=CD，

∴，

又，

，

，

.