Question

【題目】如圖1，拋物線交x軸于點，，交y軸于點C．

求拋物線的解析式；

如圖2，D點坐標為，連結若點H是線段DC上的一個動點，求的最小值．

如圖3，連結AC，過點B作x軸的垂線l，在第三象限中的拋物線上取點P，過點P作直線AC的垂線交直線l于點E，過點E作x軸的平行線交AC于點F，已知．

求點P的坐標；

在拋物線上是否存在一點Q，使得成立？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）OH+HC的最小值為3；（3）①點P坐標為（﹣2，﹣4）；②點Q的坐標為（﹣1，﹣6）．

【解析】

（1）把交點坐標代入拋物線交點式表達式，即可求解；

（2）作點O關于直線BC的對稱點O′，過點O′作O′G⊥y軸交DC與點H、交y軸與點G，在圖示的位置時，OH+ HC為最小值，即可求解；

（3）①PE＝CF，則PEcosβ＝SFcosβ，即：PE＝FS，即可求解；②求出HP所在的直線表達式與二次函數聯立，求得交點即可．

解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，

拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣6…①，

（2）作點O關于直線DC的對稱點O′交CD于點M，過點O′作O′G⊥y軸交DC與點H、交y軸與點G，

∵OD＝2 ，OC＝6，則∠OCD＝30°，∴GH＝ HC，

在圖示的位置時，OH+ HC＝GH+OH，此時為最小值，長度為GO′，

∵O′O⊥DC，∴∠OO′H＝∠OCD＝30°，

∴OM＝ OC＝3＝ OO′，

在Rt△OO′G中，GO′＝OO′cos∠OO′G＝6cos30°＝3 ，

即：OH+ HC的最小值為3 ；

（3）①設點P的坐標為（m，n），n＝m2+m﹣6，

直線AC表達式的k值為﹣2，則直線PE表達式的k值為 ，

設直線PE的表達式為：y＝x+b，

將點P坐標代入上式并解得：b＝n﹣m，

則點E的坐標為（2，1+n﹣m），點F的坐標為（m﹣n﹣，1+n﹣m），

過點P作x軸的平行線交直線l于點M，過點F作y軸平行線交過C點作x軸的平行線于點S，

∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC＝β，

∵PE＝CF，則PEcosβ＝SFcosβ，即：PE＝FS，

∴1+n﹣ m+6＝2﹣m，即：2m2+3m﹣2＝0，

解得：m＝ 或﹣2（舍去m＝），

故點P坐標為（﹣2，﹣4），

點E坐標為（2，﹣2）；

②過點P作x軸的平行線交直線l于點M、交y軸于點R，作EN⊥PB于點N，

則：PM＝4＝BM＝4，EM＝BM＝2，

則PE＝，EN＝BEsin∠NBE＝2×sin45°＝，

設：∠QPC＝∠BPE＝α，

則sin∠BPE＝＝＝sinα，則tanα＝，

過點P作y軸的平行線交過C點與x軸的平行線于點L，延長PQ交CL于點H，過點H作HG⊥PC，

則：PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四邊形PRCL為正方形，

∴∠PCH＝45°，設：GH＝GC＝m，

PG＝ ＝3m，PC＝PG+GC＝4m＝2 ，則m＝ ，

CH＝ m＝1，即點H坐標為（﹣1，﹣6），

則HP所在的直線表達式為：y＝﹣2x﹣8…②，

①②聯立并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝﹣2和點P重合，舍去），

故點Q的坐標為（﹣1，﹣6）．

故答案為：（1）y＝x2+x﹣6；（2）OH+HC的最小值為3；（3）①點P坐標為（﹣2，﹣4）；②點Q的坐標為（﹣1，﹣6）．