Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且∠AEF=90°，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求GE的長(zhǎng)；
（2）求證：AE平分∠DAF；
（3）求CF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC

∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G

∵E是CD的中點(diǎn)

∴DE=CE

∴△ADE≌△GCE

∴AD=CG

∵AD=DC=4

∴CG=4，CE=2

在Rt△GCE中，

∴GE=

（2）

證明：由（1）得：△ADE≌△GCE

∴AE=GE

∵∠AEF=90°

∴EF垂直平分AG

∴AF=GF

∴∠FAE=∠G

∵∠DAE=∠G

∴∠FAE=∠DAE

∴AE平分∠DAF

（3）

解：在正方形ABCD中

∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4

∴DE=CE=2

設(shè)CF=x，則BF=4-x

根據(jù)勾股定理得：

AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2

EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4

AE2=AD2+ DE2=42+22=20

在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2

∴32-8x+ x2= x2+4+20

解得:x=1

∴CF=1

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)可以得到△ADE≌△GCE（AAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得AD=CG；在Rt△GCE中，由勾股定理得到GE長(zhǎng)。
（2）由（1）得：△ADE≌△GCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得AE=GE；再∠AEF=90°，由等腰三角形的性質(zhì)三線合一可以得到EF垂直平分AG，
AF=GF；再根據(jù)等邊對(duì)等角得∠FAE=∠G，由等量代換可以∠FAE=∠DAE；即AE平分∠DAF。
（3）設(shè)CF=x，則BF=4-x，由勾股定理得：AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2；EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4；AE2=AD2+ DE2=42+22=20；
在Rt△AEF中，由AF2= EF2+ AE2解得x=1，即CF=1
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角的平分線和等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．